Modelo Hidrodinâmico

HydroPol2D inclui atualmente cinco famílias principais de roteamento de superfície:

• inercial local,
• impulso total,
• difusivo D4,
• cinemático D4,
• autômatos celulares.

Apenas uma destas principais formulações de roteamento deve estar ativa por vez. O código atual impõe essa exclusividade da família de roteamento por meio dos sinalizadores de modelo correspondentes. O suporte D8 continua a ser uma via secundária de âmbito limitado.

1. Roteamento de fluxo inercial local

1.1 Justificativa geral

HydroPol2D usa a aproximação inercial local como sua formulação de roteamento hidrodinâmico padrão. O objetivo é manter os controles físicos dominantes do fluxo em águas rasas, evitando ao mesmo tempo a carga computacional das equações completas em águas rasas. A abordagem inercial local é particularmente atraente para a modelagem de inundações porque preserva:

• o gradiente de pressão da superfície livre,
• aceleração gravitacional,
• resistência ao atrito,
• e aceleração temporal local,

ao mesmo tempo que negligencia os termos de aceleração convectiva que são frequentemente muito menores do que os termos de pressão e atrito em fluxos rasos que variam gradualmente. Isso produz uma formulação que é fisicamente mais consistente do que o roteamento cinemático ou puramente empírico, mas ainda assim muito mais leve do que um solucionador de ondas dinâmicas completo. HydroPol2D usa esta formulação como o principal motor para inundações terrestres, troca de planícies aluviais e redistribuição de águas superficiais através de células raster. Do ponto de vista da modelagem, a formulação inercial local é um bom compromisso porque HydroPol2D se destina a suportar:

• simulações de inundações causadas por chuvas,
• roteamento fluvial com afluência e limites de estágio,
• aplicações urbanas e de várzea,
• e benchmarks de roteamento controlados em diversas aproximações numéricas,

tudo dentro de uma estrutura hidrológico-hidrodinâmica modular. O modelo inercial local é, portanto, o núcleo hidrodinâmico que conecta os módulos de geração de chuva-escoamento à redistribuição espacial das águas superficiais.

1.2 Equações governantes

O ponto de partida é a equação de conservação de massa integrada em profundidade:

$$\frac{\partial h}{\partial t}+ \frac{\partial q_x}{\partial x}+ \frac{\partial q_y}{\partial y} = R- i- et+ s$$

onde:

• $h$ é a profundidade da água superficial $[\mathrm{L}]$
• $q_x$ é a descarga unitária na direção $x$ $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $q_y$ é descarga unitária na direção $y$ $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $r$ é a entrada de precipitação $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $i$ é perda de infiltração $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $et$ é a perda de evapotranspiração $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $s$ é a coleção de termos adicionais de origem e destino $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$

No HydroPol2D, os termos hidrológicos são calculados antes do roteamento, e o solucionador inercial local é então usado para avaliar o termo de redistribuição do fluxo. Para cada face, a equação do momento inercial local é escrita de forma simplificada como

$$\frac{\partial q}{\partial t} =- g\,H_{\mathrm{f}}\,S- g\,n^2\,\frac{q\,|q|}{H_{\mathrm{f}}^{7/3}}$$

onde:

• $q$ é a descarga unitária em uma face $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $g$ é aceleração gravitacional $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}]$
• $H_{\mathrm{f}}$ é a profundidade efetiva do fluxo na face $[\mathrm{L}]$
• $S$ é a inclinação da superfície livre na face $[-]$
• $n$ é o coeficiente de rugosidade de Manning $[\mathrm{T}\,\mathrm{L}^{-1/3}]$

Esta formulação negligencia a aceleração convectiva, mas mantém o equilíbrio hidráulico dominante entre aceleração local, gradiente de pressão e resistência ao atrito do leito.

1.3 Elevação da superfície da água e declives da face

O cálculo do roteamento começa a partir da elevação da superfície da água em cada célula

$$\eta = z + h$$

onde:

• $\eta$ é a elevação da superfície da água $[\mathrm{L}]$
• $z$ é a elevação da cama $[\mathrm{L}]$
• $h$ é a profundidade da água $[\mathrm{L}]$

Na implementação validada padrão, HydroPol2D usa a elevação do leito DEM diretamente para cálculos de inclinação. Na face leste entre as células $i$ e $i+1$, a elevação do leito da face é considerada como

$$z_{\mathrm{f},x} = \max\!\left(z_i,\;z_{i+1}\right)$$

e as elevações da superfície da água reconstruídas hidrostaticamente são

$$\eta_{\mathrm{L},x}^{\ast} = \max\!\left(\eta_i,\;z_{\mathrm{f},x}\right) \qquad \eta_{\mathrm{R},x}^{\ast} = \max\!\left(\eta_{i+1},\;z_{\mathrm{f},x}\right)$$

A inclinação da superfície livre na face é então calculada como

$$S_x = \frac{\eta_{\mathrm{R},x}^{\ast} - \eta_{\mathrm{L},x}^{\ast}}{\Delta x}$$

Da mesma forma, para uma face norte-sul,

$$z_{\mathrm{f},y} = \max\!\left(z_j,\;z_{j+1}\right)$$ $$\eta_{\mathrm{S},y}^{\ast} = \max\!\left(\eta_j,\;z_{\mathrm{f},y}\right) \qquad \eta_{\mathrm{N},y}^{\ast} = \max\!\left(\eta_{j+1},\;z_{\mathrm{f},y}\right)$$ $$S_y = \frac{\eta_{\mathrm{S},y}^{\ast} - \eta_{\mathrm{N},y}^{\ast}}{\Delta x}$$

Esta reconstrução hidrostática é essencial perto de frentes úmidas-secas porque evita profundidades negativas não físicas e garante que o gradiente de pressão seja avaliado apenas sobre a porção molhada hidraulicamente conectada da interface. Em termos práticos, é um dos principais ingredientes estabilizadores da implementação inercial local do HydroPol2D.

1.4 Profundidade facial efetiva

A profundidade hidráulica efetiva usada na equação do momento é calculada no nível da face. Para o caso de grade grossa padrão, a profundidade da face é

$$H_{\mathrm{f},x} = \max\!\left( \max(\eta_i,\eta_{i+1}) - z_{\mathrm{f},x}, 0 \right)$$

e da mesma forma na direção $y$. Assim, a profundidade da face não é simplesmente a média aritmética das profundidades das células vizinhas. Em vez disso, é uma profundidade reconstruída hidrostaticamente, referenciada à elevação mais alta do leito na interface. Isto torna o modelo muito mais robusto quando células adjacentes têm diferentes elevações de leito ou quando um lado está quase seco. A mesma definição conceitual já está declarada em seu documento de referência.

1.5 Solucionador inercial local discreto

HydroPol2D atualiza a descarga facial explicitamente a tempo. A forma discreta de base usada no esquema original do tipo Bates é

$$q^{t+\Delta t} = \frac{ q^{t}- g\,H_{\mathrm{f}}\,\Delta t\,S }{ 1+ g\,\Delta t\,n^2 \,\dfrac{|q^{t}|}{H_{\mathrm{f}}^{7/3}} }$$

onde:

• $q^{t}$ é a descarga facial anterior $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $q^{t+\Delta t}$ é a descarga facial atualizada $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $\Delta t$ é o intervalo de tempo $[\mathrm{T}]$

Esta é a forma exata implementada em Inertial_Solver quando flag_numerical_scheme = 1. A estrutura desta equação é importante:

• o numerador contém a memória inercial da etapa anterior e o termo de condução de superfície livre,
• o denominador contém o amortecimento friccional,
• então o esquema se comporta como um preditor explícito com tratamento de atrito semi-implícito.

É por isso que o método é estável e eficiente para simulações de inundações rasas.

1.6 Esquemas numéricos disponíveis em HydroPol2D

HydroPol2D suporta três variantes inerciais locais:

• esquema Bates original,
• Esquema $s$-upwind,
• Esquema centrado em $s$.

Estes são controlados por flag_numerical_scheme.

1.6.1 Esquema 1: formulação original de Bates

Esta é a atualização inercial local discreta mais simples e direta:

$$q^{t+\Delta t} = \frac{ q^{t}- g\,H_{\mathrm{f}}\,\Delta t\,S }{ 1+ g\,\Delta t\,n^2 \,\dfrac{|q^{t}|}{H_{\mathrm{f}}^{7/3}} }$$

É computacionalmente eficiente e fisicamente consistente, mas em configurações de gradiente acentuado ou fortemente descontínuas pode ser mais propenso a comportamento oscilatório do que os esquemas modificados.

1.6.2 Esquema 2: formulação $s$-upwind

A versão upwind introduz uma estimativa de descarga direcional $q_{\mathrm{upwind}}$ e a combina com a descarga frontal atual usando um fator de difusividade $\theta$:

$$q^{t+\Delta t} = \frac{ \thetaq^{t}+ (1-\theta) q_{\mathrm{upwind}}- g\,H_{\mathrm{f}}\,\Delta t\,S }{ 1+ g\,\Delta t\,n^2 \,\dfrac{|q^{t}|}{H_{\mathrm{f}}^{7/3}} }$$

O fator de difusividade é calculado como

$$\teta = 1- \frac{\Delta t}{\Delta x} \min\!\left(\frac{|q|}{H_{\mathrm{f}}}, \sqrt{g\,H_{\mathrm{f}}} \right)$$

Esta quantidade introduz difusão numérica controlada. Em termos práticos:

• quando o fluxo é lento e bem resolvido, $\theta$ permanece próximo de $1$ e o esquema se comporta como a atualização inercial local original;
• quando o fluxo se torna rápido ou o intervalo de tempo se aproxima do limite local de Courant, o esquema muda parte da atualização em direção ao fluxo contra o vento, o que amortece as oscilações.

É por isso que a variante contra o vento é útil em condições de rota mais desafiadoras.

1.6.3 Esquema 3: Formulação centrada em $s$

O esquema centrado substitui a descarga contra o vento por uma média vizinha centrada:

$$q_{\mathrm{avg}} = \frac{q_{i-1} + q_{i+1}}{2}$$

e atualiza a quitação conforme

$$q^{t+\Delta t} = \frac{ \thetaq^{t}+ (1-\theta) q_{\mathrm{avg}}- g\,H_{\mathrm{f}}\,\Delta t\,S }{ 1+ g\,\Delta t\,n^2 \,\dfrac{|q^{t}|}{H_{\mathrm{f}}^{7/3}} }$$

Este esquema é mais simétrico que a versão upwind e menos difusivo, mas ainda usa o mesmo coeficiente $\theta$ para suprimir a instabilidade. Na prática, proporciona um compromisso entre a resposta mais nítida da forma Bates original e o amortecimento mais forte da forma contra o vento.

1.7 Tratamento úmido-seco e profundidade operatória mínima

HydroPol2D contém diversas proteções explícitas para evitar roteamento não físico em interfaces secas ou inválidas. Um rosto é suprimido se:

• a profundidade efetiva da face é zero,
• uma das células vizinhas está fora do domínio válido,
• ou a profundidade da célula local está abaixo de um limite operacional mínimo.

Em termos de código, HydroPol2D zera:

• inclinação do rosto,
• profundidade eficaz,
• e largura efetiva da face

sempre que um rosto está seco ou inválido. Em seguida, aplica uma lógica adicional para águas rasas com base em uma profundidade operacional mínima $h_{\min}$. Se a profundidade atual da célula estiver abaixo de $h_{\min}$, os fluxos de faces vizinhas serão zerados para suprimir movimentos espúrios em células quase secas. No caso padrão, o código usa $h_{\min}=10^{-6}\,\mathrm{m}$, embora possa ser definido como zero quando hidrogramas de afluência estão sendo impostos. Esta lógica húmida-seca é uma das razões pelas quais o modelo permanece robusto nas fases de expansão e recessão das cheias.

1.9 Conversão de unidades e escrituração de quitação facial

Internamente, o solucionador inercial funciona com descarga unitária $q$ em

$$[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}] \quad\text{that is,}\quad [\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-1}]$$

O código primeiro converte o estado atual do fluxo de saída de unidades de profundidade baseadas em células em descarga de unidade baseada em face. Após a atualização inercial local ser realizada, o modelo converte novamente para descarga volumétrica por face:

$$Q = q\,W_{\mathrm{f}}$$

e então para uma taxa de profundidade equivalente sobre a área da célula:

$$q_{\mathrm{mm/h}} = \frac{Q}{A_{\mathrm{cell}}} \, 1000 \, 3600$$

onde:

• $A_{\mathrm{cell}}$ é a área da célula $[\mathrm{L}^2]$

Esta contabilidade é necessária porque HydroPol2D acopla os fluxos hidrodinâmicos a termos hidrológicos que são rastreados em unidades de profundidade como $\mathrm{mm}$ ou $\mathrm{mm/h}$.

1.10 Limites de fluxo físico

HydroPol2D impõe duas restrições físicas adicionais após a atualização inercial.

1.10.1 Limite de fluxo crítico

Se o limitador de fluxo crítico estiver ativo, a magnitude da descarga da unidade é limitada por

$$|q| \le H_{\mathrm{f}} \sqrt{g\,H_{\mathrm{f}}}$$

Isto evita que o solucionador inercial produza velocidades que excedam a condição crítica local.

1.10.2 Limite máximo de velocidade

HydroPol2D também impõe um limite rígido de velocidade máxima, atualmente definido como

$$u_{\max} = 10 \;\mathrm{m\,s}^{-1}$$

O limite de descarga unitária correspondente é

$$|q| \le H_{\mathrm{f}}\,u_{\max}$$

Esta é uma salvaguarda numérica pragmática contra picos isolados causados ​​por profundidade abrupta ou descontinuidades de taludes.

1.11 Atualização de continuidade e equilíbrio de volume de células

Uma vez calculadas as descargas faciais, HydroPol2D atualiza cada célula integrando a divergência líquida do fluxo ao longo do intervalo de tempo. No nível da célula, o equilíbrio do volume intercelular pode ser escrito conceitualmente como

$$\Delta V = \Delta t \left( Q_{\mathrm{in}} - Q_{\mathrm{out}} \right)$$

A profundidade da água atualizada é então

$$h^{t+\Delta t} = h^t+ \frac{\Delta V}{A_{\mathrm{eff}}}$$

onde:

• $A_{\mathrm{eff}}$ é a área de armazenamento efetiva da célula $[\mathrm{L}^2]$

No fluxo de trabalho de grade grossa validado, $A_{\mathrm{eff}}$ é a área da célula. O código então impõe

$$h^{t+\Delta t} \ge 0$$

para que profundidades de água negativas nunca sejam permitidas.

1.12 Condições limite de saída

HydroPol2D suporta dois tratamentos de saída no solucionador inercial local.

1.12.1 Saída de profundidade normal

Quando outlet_type = 1, a inclinação de saída é imposta como uma inclinação de fluxo normal prescrita

$$S_0 = s_{\mathrm{outlet}}$$

e a descarga de saída é calculada com a equação de Manning.

1.12.2 Saída de profundidade crítica

Quando outlet_type \ne 1, HydroPol2D calcula um controle de saída tipo inclinação crítica a partir da profundidade e rugosidade local. Em ambos os casos, o fluxo de saída é convertido para uma taxa equivalente à profundidade e subtraído da profundidade final da água durante a atualização. Este tratamento de saída permite que o solucionador inercial local permaneça incorporado dentro de um domínio raster enquanto ainda aplica uma condição de contorno fisicamente interpretável no perímetro do domínio.

1.13 Interação reservatório e controle hidráulico

O solucionador inercial local também pode ser modificado internamente por armazenamento ou controles de curva nominal. Quando o roteamento do reservatório está ativo, HydroPol2D impõe relações de descarga na forma

$$Q = k\,(h-h_0)^m$$

sujeito a restrições de água disponível e conexões a jusante definidas pelo usuário. Na implementação atual, a lógica de controle de dois estágios é suportada. O volume descarregado resultante é transferido diretamente para células designadas a jusante. Isto significa que o solucionador inercial local não é um bloco de roteamento fechado; é um núcleo de roteamento que pode ser modificado localmente por estruturas de controle hidráulico.

1.14 Por que o modelo inercial local é o padrão em HydroPol2D

A formulação inercial local é o método de roteamento padrão em HydroPol2D por três motivos. Primeiro, mantém a hidráulica dominante necessária para a propagação das inundações:

• gradiente de pressão de superfície livre,
• atrito,
• aceleração local.

Em segundo lugar, é computacionalmente eficiente o suficiente para ser usado em grandes domínios raster e em execução de GPU. Terceiro, integra-se naturalmente com o acoplamento de processo validado do HydroPol2D:

• controles hidráulicos,
• condições de saída,
• e acoplamento hidrológico fonte-sumidouro.

Por estas razões, fornece o melhor equilíbrio entre realismo físico e tratabilidade computacional para a maioria das aplicações HydroPol2D.

1.15 Modelo subgrade de Neal (2012)

O HydroPol2D inclui a formulação retangular de canal subgrade proposta por Neal et al. (2012). Essa extensão é usada quando o rio é mais estreito que a célula raster. O canal é embutido na célula grosseira, enquanto o escoamento bidimensional continua sendo calculado na planície ao redor do canal.

Seja $\Delta x$ a largura da célula, $z_f$ a elevação da planície, $H$ a altura da margem e $w$ a largura do canal, com $0<w<\Delta x$. A elevação do leito do canal é

$$z_c=z_f-H.$$

A profundidade $h$ é medida acima de $z_c$. A água permanece no canal retangular quando $h\le H$ e se espalha pela célula grosseira quando $h>H$.

Escoamento no canal em uma face

A elevação da superfície da água no canal é

$$y_c=z_c+h.$$

Para células adjacentes $i$ e $j$, a declividade da superfície e a profundidade de escoamento na face são

$$S_c=\frac{y_{c,j}-y_{c,i}}{\Delta x},$$ $$h_{c,f}=\max\!\left[\max(y_{c,i},y_{c,j})- \max(z_{c,i},z_{c,j}),0\right].$$

A largura compartilhada do canal é

$$w_{c,f}=\min(w_i,w_j).$$

A área de escoamento e o raio hidráulico do canal são

$$A_c=w_{c,f}h_{c,f}, \qquad R_c=\frac{A_c}{w_{c,f}+2h_{c,f}}.$$

A vazão no canal é atualizada pela equação inercial local

$$Q_c^{t+\Delta t}= \frac{Q_c^t-gA_c\Delta t S_c} {1+g\Delta t n_c^2|Q_c^t|/(R_c^{4/3}A_c)},$$

em que $n_c$ é o coeficiente de Manning do canal.

Escoamento na planície em uma face

A profundidade na planície é medida acima do DEM grosseiro:

$$h_f=\max(h+z_c-z_f,0), \qquad y_f=z_f+h_f.$$

A declividade e a profundidade na face da planície são calculadas a partir de $y_f$ e $z_f$, da mesma forma que os termos do canal. A atualização inercial local usa a vazão unitária $q_f$:

$$q_f^{t+\Delta t}= \frac{q_f^t-gh_{f,f}\Delta t S_f} {1+g\Delta t n_f^2|q_f^t|/h_{f,f}^{7/3}},$$

em que $n_f$ é o coeficiente de Manning da planície. As vazões da planície e da face completa são

$$Q_f=q_f(\Delta x-w_{c,f}), \qquad Q=Q_c+Q_f.$$

O HydroPol2D aplica essa separação nas faces ortogonais D4. A saída usa os mesmos componentes de canal e planície empregados nas faces internas.

Transição conservativa do armazenamento

A equação de continuidade da célula é avaliada em termos de volume. Para uma célula com canal,

$$V(h)= \begin{cases} \Delta x\,w\,h, & h\le H,\\[4pt] \Delta x\,w\,H+\Delta x^2(h-H), & h>H. \end{cases}$$

Assim, a área ativa da superfície $\mathrm{d}V/\mathrm{d}h$ muda de $\Delta xw$, dentro das margens, para $\Delta x^2$, acima das margens. Os fluxos de roteamento e os termos hidrológicos de fonte ou sumidouro atualizam primeiro $V$. Em seguida, o HydroPol2D inverte a mesma relação por partes para recuperar $h$. Esse procedimento evita uma descontinuidade de massa na passagem pela altura da margem.

A configuração ativa e os dados geométricos são descritos em Bandeiras do modelo. Os resultados dos testes controlados são apresentados em Validação do modelo subgrade de Neal (2012).

1.16 Resumo

Em HydroPol2D, o Modelo Inercial Local é uma formulação de roteamento baseada em raster com integração profunda na qual:

• a elevação da superfície da água celular é primeiro reconstruída,
• inclinações de superfície livre são avaliadas nas faces,
• as profundidades efetivas da face são calculadas hidrostaticamente,
• descargas faciais são atualizadas com uma equação inercial local do tipo Bates,
• os fluxos resultantes são convertidos em descargas volumétricas,
• e a profundidade da água é atualizada por um equilíbrio conservador do volume celular.

O solucionador suporta:

• o esquema Bates original,
• um esquema estabilizado contra o vento,
• um esquema estabilizado centrado,
• controles de saída,
• controles de reservatório,
• manuseio frontal molhado-seco,
• limites de fluxo crítico e velocidade.

Isso o torna o principal motor hidrodinâmico do HydroPol2D para roteamento de fluxo de superfície com base física.

2. Roteamento de fluxo de impulso total

2.1 Justificativa geral

HydroPol2D também inclui um solucionador de momento total para águas rasas para casos em que a aproximação inercial local não é suficiente. Esta opção destina-se a benchmarks hidráulicos controlados e aplicações onde a aceleração convectiva, a propagação de ondas ou efeitos dinâmicos mais fortes precisam ser representados de forma mais explícita. O modelo de momento total resolve as equações bidimensionais conservadoras de águas rasas na grade raster. No HydroPol2D, isso é implementado como um núcleo de roteamento de volume finito com armazenamento explícito e estados de momento. O solucionador é ativado por meio do sinalizador de roteamento full-momentum na configuração do modelo. Deve ser usado como uma alternativa, não simultaneamente, ao roteamento local inercial, cinemático, difusivo, D8 ou CA.

2.2 Equações conservadoras para águas rasas

O vetor de estado conservado é

$$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} h\\ eh \\ hv \end{bmatrix}$$

onde:

• $h$ é a profundidade da água $[\mathrm{L}]$
• $u$ é a velocidade média de profundidade na direção $x$ $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $v$ é a velocidade média da profundidade na direção $y$ $[\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}]$
• $hu$ e $hv$ são descargas unitárias ou variáveis ​​​​de momento $[\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-1}]$

As equações governantes são escritas como

$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{F}(\mathbf{U})}{\partial x}+ \frac{\partial \mathbf{G}(\mathbf{U})}{\partial y} = \mathbf{S}_{\mathrm{bed}}+ \mathbf{S}_{\mathrm{fric}}$$

com fluxos

$$\mathbf{F}(\mathbf{U}) = \begin{bmatrix} eh \\ \dfrac{(hu)^2}{h} + \dfrac{1}{2}gh^2 \\ \dfrac{(hu)(hv)}{h} \end{bmatrix}$$

e

$$\mathbf{G}(\mathbf{U}) = \begin{bmatrix} hv \\ \dfrac{(hu)(hv)}{h} \\ \dfrac{(hv)^2}{h} + \dfrac{1}{2}gh^2 \end{bmatrix}$$

onde $g$ é a aceleração gravitacional. Os termos de origem da inclinação do leito representam o forçamento topográfico:

$$\mathbf{S}_{\mathrm{bed}} = \begin{bmatrix} 0 \\ -gh\,\dfrac{\partial z}{\partial x} \\ -gh\,\dfrac{\partial z}{\partial y} \end{bmatrix}$$

e os termos da fonte de atrito representam a resistência Manning.

2.3 Fluxos numéricos e memória de momento

HydroPol2D calcula fluxos de momento total com um solucionador de volume finito do tipo HLL. Em cada face da célula, os estados reconstruídos à esquerda e à direita são usados ​​para calcular o fluxo de massa e o fluxo de momento. A atualização é conservadora no sentido de que o fluxo que sai de uma célula entra na célula adjacente com sinal oposto. Ao contrário do solucionador inercial local, o modelo de momento total deve transportar o momento de um passo de tempo para o seguinte. Lojas HydroPol2D:

• o atual estado $hu$ centrado na célula,
• o estado atual $hv$ centrado na célula,
• fluxos de massa facial convertidos de volta para unidades de taxa de profundidade HydroPol2D,
• termos do coletor de saída.

Essa memória de momento é o que torna o modelo um verdadeiro solucionador de ondas dinâmicas, em vez de um recálculo de descarga baseado apenas na inclinação atual da superfície da água.

2.4 Inclinação do leito, fricção e tratamento de umedecimento e secagem

O solucionador de momento total inclui diversas proteções numéricas para simulação de inundação raster:

• as células secas e inativas são tratadas como paredes sólidas;
• células muito rasas são limpas para evitar velocidades indefinidas;
• o momento é limitado por uma velocidade máxima admissível;
• O atrito Manning é aplicado com uma atualização implícita semi-implícita ou exata;
• um limitador de drenagem evita que o fluxo facial remova mais água do que a disponível.

A atualização de fricção Manning amortece o impulso de acordo com a profundidade local, rugosidade e magnitude da velocidade. Conceitualmente, os componentes do momento são relaxados por um denominador da forma

$$1 + g\,n^2\,\Delta t\,\frac{\sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}}$$

onde $n$ é o coeficiente de rugosidade de Manning. Isso evita um grande impulso irrealista em águas rasas, ao mesmo tempo que mantém a propagação dinâmica onde a profundidade da água é suficiente. A reconstrução hidrostática está disponível para terrenos complexos e tratamento de talude de leito bem balanceado, enquanto o caminho de referência controlado padrão usa o robusto tratamento de fluxo/fonte HLL implementado no solucionador atual.

2.5 Atualização de continuidade e acoplamento HydroPol2D

Depois que os fluxos HLL são calculados, a atualização da profundidade segue o equilíbrio de volume finito:

$$h^{t+\Delta t} = h^t- \frac{\Delta t}{\Delta x} \left( F_h^{E} - F_h^{W}+ G_h^{N} - G_h^{S} \right)$$

onde $F_h$ e $G_h$ são os componentes do fluxo de massa através das faces da célula. HydroPol2D então converte os fluxos de face para a mesma convenção de contabilidade usada pelo resto do modelo:

$$q_{\mathrm{mm/h}} = \frac{Q}{A_{\mathrm{cell}}} 1000 3600$$

Isso permite que o solucionador de momento total permaneça compatível com termos de fonte/sumidouro hidrológico, transporte de qualidade da água, controles de reservatório e diagnóstico de condições de contorno.

2.6 Condições limite e controles hidráulicos

O modelo full-momentum suporta a mesma arquitetura prática de condições de contorno usada pelo roteamento HydroPol2D:

• paredes reflexivas fechadas ao longo de faces inativas ou externas,
• células coletoras de saída com comportamento de profundidade normal ou profundidade crítica,
• limites impostos do hidrograma de afluência,
• limites prescritos do hidrograma de estágio,
• reservatório e estruturas internas de controle da curva nominal.

Para fronteiras fechadas, o fluxo de massa normal é zero, mas os efeitos da pressão de parede são contabilizados na atualização do momento. Isto é importante para um comportamento estável próximo às bordas do domínio e células inativas. Os fluxos de saída são convertidos em um sumidouro de volume e removidos do armazenamento de água local, sujeitos às restrições de água disponível.

2.7 Evidências de validação atuais

O solucionador de impulso total faz parte do pacote de validação da Fase 1. As evidências atuais prontas para relatório incluem:

• escoamento em plano inclinado contra o limite analítico da onda cinemática;
• Conservação de massa de captação inclinada em V e verificações de simetria bilateral;
• Perfis analíticos de ruptura de barragens em leito seco de Ritter;
• propagação de ondas ininterruptas e comparação de perfis;
• aplicação prescrita do limite do estágio;
• hidrograma de afluência e contabilidade de reservatório/estrutura de controle onde a rota de momento total é usada.

Esses testes validam a implementação de impulso total como uma opção de roteamento de ondas dinâmicas controladas. Eles não implicam calibração de campo para uma determinada bacia hidrográfica.

2.8 Uso prático do solver full momentum

O solver full momentum é indicado para simulações em que os termos adicionais de advecção e aceleração local justificam o custo computacional maior. No HydroPol2D, ele deve ser tratado como uma escolha própria de família de roteamento, e não como um complemento aos modos mais leves.

3. Roteamento D4 difusivo e cinemático

HydroPol2D implementa roteamento de onda difusivo e cinemático por meio de um solucionador D4 conservador compartilhado. Esses modos são mais leves que os solucionadores inerciais locais e de momento total, mas ainda usam fluxos explícitos baseados em faces, atualizações conservadoras de volume, manipulação de saída e acoplamento reservatório/controle.

3.1 Estrutura de roteamento conservadora compartilhada

Em ambos os modos, HydroPol2D direciona a água através dos quatro vizinhos ortogonais de cada célula e atualiza a profundidade da célula através de um equilíbrio de volume conservador:

$$h^{t+\Delta t} = h^t+ \frac{V_{\mathrm{in}} - V_{\mathrm{out}}}{A_{\mathrm{cell}}}$$

onde:

• $h$ é a profundidade da água na célula $[\mathrm{L}]$
• $V_{\mathrm{in}}$ e $V_{\mathrm{out}}$ são volumes de entrada e saída na subetapa $[\mathrm{L}^3]$
• $A_{\mathrm{cell}}$ é a área da célula ativa $[\mathrm{L}^2]$

O intervalo de roteamento é subdividido internamente quando necessário. O código atual estima o número de subetapas de uma estimativa de velocidade do tipo Manning e uma meta do estilo Courant para que encostas íngremes ou águas profundas não desestabilizem a atualização explícita.

3.2 Modo difusivo

No modo difusivo, a inclinação de condução é a inclinação da superfície da água entre células adjacentes. Para um rosto compartilhado pelas células esquerda e direita,

$$\eta = z + h$$ $$S_f = \frac{\eta_L - \eta_R}{\Delta x}$$

com profundidade de face reconstruída hidrostaticamente

$$H_f = \max\!\left(\max(\eta_L,\eta_R) - z_f,\,0\right)$$

A descarga da unidade frontal é então avaliada com uma lei de fluxo do tipo Manning:

$$q_f = \nomedooperador{sign}(S_f) \frac{H_f^{5/3}}{n}\sqrt{|S_f|}$$

Este modo pode representar uma redistribuição tipo remanso impulsionada por gradientes da superfície da água, embora permaneça muito mais barato do que resolver uma equação de momento.

3.3 Modo cinemático

No modo cinemático, a inclinação de condução é a inclinação do leito, e não a inclinação da superfície da água:

$$S_b = \frac{z_L - z_R}{\Delta x}$$

O código então aplica uma regra de profundidade do doador:

• se $S_b > 0$, a célula esquerda é a doadora e sua profundidade impulsiona o fluxo,
• se S_b &lt; 0, a célula direita é a doadora e sua profundidade impulsiona o fluxo.

Usando a profundidade do doador $H_{\mathrm{donor}}$, a descarga da unidade é

$$q_f = \nomedooperador{sign}(S_b) \frac{H_{\mathrm{donor}}^{5/3}}{n_{\mathrm{donor}}}\sqrt{|S_b|}$$

Isso torna a rota cinemática estritamente direcionada à inclinação e evita que ela represente o mesmo comportamento de remanso capturado pelos solucionadores difusivos, inerciais ou de momento total.

3.4 Controles compartilhados, manuseio de saída e acoplamento

Ambos os modos de onda D4 compartilham o mesmo mecanismo de roteamento conservador para:

• subpasso interno,
• limitação de armazenamento disponível para que uma célula doadora não possa exportar mais volume do que contém,
• limitação opcional de fluxo crítico,
• remoção de descarga de saída,
• interação entre reservatório e controle hidráulico.

Tal como acontece com as outras famílias de roteamento, precipitação, infiltração, evapotranspiração, feedback de águas subterrâneas e outros termos de fonte/sumidouro são tratados pela estrutura acoplada HydroPol2D em torno da atualização de roteamento.

3.5 Escopo e advertências

Os modos difusivo e cinemático D4 fazem parte da família de roteamento implementada e são usados ​​nos atuais benchmarks de validação controlada. No entanto:

• eles devem ser tratados como alternativas, e não como combinações, com inercial local ou momento total,
• O apoio D8 deve ser considerado um caminho secundário de escopo limitado, em vez de uma família de teorias paralelas,

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4. Roteamento de fluxo de autômatos celulares

4.1 Formulação conceitual

Além do modelo inercial local, HydroPol2D fornece um esquema de roteamento de autômato celular (CA) como uma alternativa simplificada para propagação de fluxo de superfície. O modelo CA é baseado na redistribuição local do volume de água entre células vizinhas, impulsionada por diferenças na elevação da superfície da água. Ao contrário da formulação inercial local, esta abordagem:

• não resolve explicitamente uma equação de momento,
• não rastreia velocidade ou descarga nas faces,
• depende de regras empíricas de redistribuição de fluxo,
• garante estrita conservação de massa no nível celular.

Esta formulação é particularmente útil para:

• estimativa rápida da extensão da inundação,
• simulações em grande escala onde a eficiência computacional é crítica,
• casos onde a dinâmica hidráulica detalhada não é necessária.

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4.2 Representação da superfície da água

Tal como no modelo inercial, a variável determinante é a elevação da superfície da água:

$$\eta = z + h$$

onde:

• $\eta$ = elevação da superfície da água $[\mathrm{L}]$
• $z$ = elevação do leito $[\mathrm{L}]$
• $h$ = profundidade da água $[\mathrm{L}]$

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4.3 Gradiente de condução e direção do fluxo

O fluxo entre uma célula $i$ e uma célula vizinha $j$ é impulsionado pela diferença:

$$\Delta \eta_{i,j} = \eta_i - \eta_j$$

Apenas gradientes positivos contribuem para o fluxo:

$$\Delta\eta_{i,j} > 0$$

Isso garante que a água flua apenas descendo em termos de superfície livre, evitando o refluxo não físico.

4.4 Volume transferível disponível

O volume potencial que pode ser transferido da célula $i$ para o vizinho $j$ é estimado como:

$$V_{i,j} = A_{\mathrm{cell}} \cdot \max(\Delta \eta_{i,j}, 0)$$

onde:

• $V_{i,j}$ = volume transferível $[\mathrm{L}^3]$
• $A_{\mathrm{cell}}$ = área da célula $[\mathrm{L}^2]$

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4.5 Particionamento de fluxo

O volume total transferível de uma célula é distribuído entre seus vizinhos proporcionalmente:

$$w_{i,j} = \frac{ V_{i,j} }{ \sum_k V_{i,k} + \varepsilon }$$

onde:

• $w_{i,j}$ = peso atribuído ao vizinho $j$
• $\varepsilon$ = pequena constante numérica para evitar divisão por zero

A saída total da célula é então:

$$I_{i,j} = w_{i,j} \cdot I_{\mathrm{tot}}$$

onde:

• $I_{\mathrm{tot}}$ = volume total de saída $[\mathrm{L}^3]$

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4.6 Estimativa de velocidade

Embora o modelo CA não resolva explicitamente as equações de momento, uma velocidade característica é estimada usando a equação de Manning:

$$u = \frac{1}{n} h^{2/3} S^{1/2}$$

onde:

• $u$ = velocidade do fluxo $[\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1}]$
• $n$ = coeficiente Manning $[\mathrm{T}\mathrm{L}^{-1/3}]$
• $S$ = inclinação $[-]$

Esta velocidade é usada para controlar a taxa de redistribuição da água.

4.7 Cálculo de saída

A saída total de uma célula é calculada como:

$$I_{\mathrm{tot}} = u \cdot h \cdot \Delta t \cdot W_{\mathrm{eff}}$$

onde:

• $I_{\mathrm{tot}}$ = volume total de saída $[\mathrm{L}^3]$
• $\Delta t$ = intervalo de tempo $[\mathrm{T}]$
• $W_{\mathrm{eff}}$ = largura efetiva do fluxo $[\mathrm{L}]$

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4.8 Atualização de profundidade

Após a redistribuição, a profundidade da água é atualizada como:

$$h^{t+\Delta t} = h^t+ \frac{ \soma Q_{\mathrm{in}} - \soma Q_{\mathrm{out}} }{ A_{\mathrm{cell}} }$$

onde:

• $Q_{\mathrm{in}}$ = volume de entrada $[\mathrm{L}^3]$
• $Q_{\mathrm{out}}$ = volume de saída $[\mathrm{L}^3]$

O modelo impõe:

$$h^{t+\Delta t} \ge 0$$

garantindo consistência física.

4.9 Estabilidade e robustez

O modelo CA é inerentemente estável porque:

• o fluxo é limitado pelo volume de água disponível,
• a redistribuição é limitada por gradientes locais,
• nenhum termo de aceleração explícito está presente.

No entanto, o método é:

• mais difusivo que o Modelo Inercial Local,
• menos preciso para representar processos hidráulicos dinâmicos,
• não é adequado para capturar a propagação de ondas ou efeitos de remanso.

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4.10 Comparação com Modelo Inercial Local

Recurso	Modelo Inercial Local	Autômatos Celulares
Física	Baseado em impulso	Empírico
Variáveis	$q$, $h$, $\eta$	$h$, $\eta$
Precisão	Alto	Moderado
Estabilidade	Condicional	Muito alto
Custo computacional	Moderado	Baixo
Dinâmica de inundação	Bem capturado	Difusivo

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4.11 Quando usar o modelo CA

O modelo Cellular Automata é recomendado quando:

• simulações em grande escala são necessárias,
• a velocidade computacional é uma prioridade,
• apenas a extensão da inundação ou profundidades aproximadas são necessárias,
• o comportamento hidráulico detalhado não é crítico.

Para a propagação de inundações com base física, o Modelo Inercial Local continua sendo a opção preferida.

Resumo

HydroPol2D oferece suporte a uma família de roteamento que agora inclui publicamente:

• roteamento inercial local como solucionador de inundação com base física padrão,
• Roteamento de impulso total para benchmarks de ondas dinâmicas e efeitos de impulso mais fortes,
• Roteamento difusivo D4 impulsionado pela inclinação da superfície da água,
• Roteamento cinemático D4 conduzido pela inclinação do leito e profundidade do doador,
• Roteamento de autômatos celulares para redistribuição rápida e simplificada.

Todas essas rotas compartilham o acoplamento mais amplo do HydroPol2D com entradas hidrológicas, feedback de águas subterrâneas, contabilidade de saída e controles hidráulicos, mas apenas uma formulação principal de rota deve estar ativa em uma determinada rota. O D8 permanece de escopo secundário.